문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라플라스 방정식 (문단 편집) === 2차원 라플라스 방정식과 [[복소해석학]] === 영역이 2차원일 때의 조화함수는 [[복소해석학]]으로 해석될 수 있는 특별한 성질을 만족하는데, 바로 복소해석 함수의 실수부(혹은 허수부)가 될 수 있다는 것이다. ||2차원 단순연결 영역 위의 [math(C^2)] 실함수 [math(u)]에 대해 다음 조건은 서로 동치이다. (1) [math(u)]는 조화함수이다. (2) [math(u+iv = f(x+iy))]가 되는 정칙(holomorphic)함수 혹은 복소해석(complex analytic)함수 [math(f)]가 존재한다. (3) [math(u,v)]가 [[코시-리만 방정식]], 즉 [math(u_x = v_y, u_y = -v_x)] 을 만족시킨다. (2)의 조건을 만족시키는 [math(v)]는 상수만큼 차이나는 것을 제외하면 유일하게 결정된다. 이 [math(v)]를 [math(u)]의 '''조화 켤레/조화 공액'''(harmonic conjugate)이라 부른다.|| (2)와 (3)의 동치성은 [[코시-리만 방정식]] 항목에 증명되어 있다. (3)->(1)의 증명은 [math(u_x = v_y, u_y = -v_x)]에서 [math(u_{xx} + u_{yy} = (v_y)_x - (v_x)_y = 0)]으로 바로 되고, (1)->(3)의 증명은 이 미분방정식을 [math(v)]에 대해서 푼다고 생각하면 푸앵카레 정리에 의해 닫힌(closed) 벡터장은 정확하므로(exact) 증명된다. 이를 이용하여 다음을 증명할 수 있다. ||2차원 영역 [math(U)]와 [math(V)]가 등각사상(conformal mapping) [math(\phi: U \rightarrow V)]로 일대일대응된다고 하자. [math(u : U \rightarrow \mathbb{R})]이 조화함수일 필요충분조건은 [math( u \circ \phi^{-1})]이 조화함수인 것이다.|| 증명은 [math(f=u + iv)]를 생각하면 [math( f \circ \phi^{-1})]도 정칙함수이므로(정칙함수의 합성은 정칙함수이다) 양쪽을 오갈 수 있다. 이를 이용하여 복잡한 영역 위에서의 라플라스 방정식을 풀고자 할 때, 원형 같은 간단한 영역과의 등각사상을 먼저 찾은 후, 원 위에서 라플라스 방정식을 푸는 방법을 생각할 수 있다. 특히 디리클레 문제의 경우는 원 위에서의 라플라스 방정식을 푸아송 핵(Poisson kernel)을 사용해서 아래처럼 완벽하게 풀 수 있기 때문에 더더욱 유효하다. ||'''푸아송 적분 공식'''(Poisson integral formula) 단위원을 포함하는 영역 위에서 조화함수 [math(f)]에 대해 다음이 성립한다. ([math(0 \le r< 1)]) [math(\displaystyle f(r e^{i \theta}) = \frac{1}{2\pi} \int_{\phi=0}^{2\pi} f(e^{i \phi}) \frac{1-r^2}{1-2r \cos(\theta-\phi)+ r^2} d \phi )] '''푸아송 핵(Poisson kernel)'''은 함수 [math(\frac{1-r^2}{1-2r \cos(\theta-\phi)+ r^2} = P_r(\theta-\phi))]을 의미한다.||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기